VP - 111/39 Đường 385, P.Tăng Nhơn Phú A, Q.9, TP.HCM
Gia sư trực tuyến

Cực trị của hàm số

Dạng 1: Tìm cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

Quy tắc tìm cực trị của hàm số

* Quy tắc 1:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính y'. Tìm các điểm tại đó y' bằng 0 hoặc y' không xác định.

Bước 3. Lập bảng biến thiên.

Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

* Quy tắc 2:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3... là các nghiệm).

Bước 3. Tính f''(x) và f''(xi) .

Bước 4. Dựa vào dấu của f''(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

Dạng 2: Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

I. Phương pháp giải

Cho hàm số y = f(x; m). Tìm m để hàm số đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

* Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số.

* Bước 2: Do hàm số đã cho đạt cực trị tại điểm M(x0; y0)

4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Giải hệ phương trình ta tìm được giá trị của m thỏa mãn.

* Chú ý: Nếu hàm số đạt cực đại tại điểm M(x0; y0) thì y''(x0) < 0

Nếu hàm số đạt cực tiểu tại điểm M(x0; y0) thì y''(x0) > 0

Dạng 3: Biện luận theo m số cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

* Cực trị của hàm số bậc ba

Cho hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d

Đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c; Δ'= b2 – 3ac

Xét phương trình: 3ax2 + 2bx + c = 0 (*)

Phương trình (1) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép thì hàm số đã cho không có cực trị.

Vậy hàm số bậc ba không có cực trị khi b2 – 3ac ≤ 0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì hàm số đã cho có 2 điểm cực trị

Vậy hàm số bậc 3 có 2 cực trị khi b2 – 3ac > 0

* Cực trị của hàm trùng phương

Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C)

Đạo hàm y' = 4ax3 + 2bx. Xét phương trình y' = 0

Hay 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) = 0

4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Để đồ thị hàm số đã cho có 1 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 có nghiệm duy nhất x = 0 hoặc phương trình (1) nhận x = 0 là nghiệm 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Để đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 hay 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Dạng 4: Bài toán liên quan đến cực trị của hàm số.

I. Phương pháp giải

1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d.

Ta có đạo hàm y' = 3ax2 + 2bx + c

• Bài toán: Viết phương trình đi qua hai điểm hai điểm cực trị của hàm số:

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có: y = g(x).y'(x) + r(x) trong đó r(x) là phần dư của phép chia y cho y'.

Khi đó phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: y = r(x).

(chú ý: Do x1, x2 là điểm cực trị nên y'(x1) = 0; y'(x2) = 0).

Bài toán: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn hệ thức T.

+ Tìm điều kiện để hàm số có cực trị.

+ Phân tích hệ thức để áp dụng Viet cho phương trình bậc hai.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c có đồ thị là (C).

Ta có y' = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b)

4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Đồ thị hàm số (C) có ba điểm cực trị khi y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt ⇔ -b/2a > 0

Hàm số có 3 cực trị là: A(0;c)

4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

Độ dài các đoạn thẳng:

4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết

CÔNG THỨC TÍNH NHANH

Ba điểm cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa mãn dữ kiện

STT Dữ kiện Công thức thỏa ab < 0
1 Tam giác ABC vuông cân tại A 8a + b3 = 0
2 Tam giác ABC đều 24a + b3 = 0
3 Tam giác ABC có góc ∠BAC = α 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
4 Tam giác ABC có diện tích SΔABC = S0 32a3(S0)2 + b5 = 0
5 Tam giác ABC có diện tích max (S0) 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
6 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp rΔABC = r0 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
7 Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 a.m02 + 2b = 0
8 Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0 16a2n02 - b4 + 8ab = 0
9 Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox b2 – 4ac = 0
10 Tam giác ABC có 3 góc nhọn b(8a + b3) > 0
11 Tam giá ABC có trọng tâm O b2 – 6ac = 0
12 Tam giác ABC có trực tâm O b3 + 8a - 4ac = 0
13 Tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp RΔABC = R0 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
14 Tam giác ABC cùng điểm O tạo hình thoi b2 – 2ac = 0
15 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp b3 – 8a – 4abc = 0
16 Tam giác ABC có O là tâm đường tròn ngoại tiếp b3 – 8a – 8abc = 0
17 Tam giác ABC có cạnh BC = k.AB = k.AC b3k2 - 8a(k2 - 4) =0
18 Trục hoành chia ΔABC thành hai phần có diện tích bằng nhau b2 = 4√2|ac|
19 Tam giác ABC có điểm cực trị cách đều trục hoành b2 – 8ac = 0
20 Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là: 4 dạng bài Tìm cực trị của hàm số trong đề thi Đại học có giải chi tiết
 

 

0908362936